培养孩子的数学思维，他找到了好方法

吴恢銮

温州市首届骨干教师。对课堂教学精益求精，如琢如磨，在《小学数学教育》《小学青年教师》等刊物多次发表文章，出版书籍《差异课堂·小学数学差异教学探索》。

有位一年级家长发现了一件很奇怪的事——她的小孩算是比较聪明的，早就会了20以内加减法了，但读一年级时碰到（ ）=2+4的算式时孩子居然不会做。怎么一回事？她的意思是小孩子2+4=（ ）会做，怎么反过来写就不会做？这两个式子难道不一样吗？我想说，从数字、符号看上去是一样的，但是从问题解决的思维过程来看是不一样的。

对于前者，如果把两个数的合并运算得到一个结果，这样的问题解决方式是顺向思维，那么后者需要逆向思维和平衡观念的参与，因此，这个孩子不会算是正常的，那么，如何促进儿童的早期代数思维发展呢？

在学校由此开始的数学实验课程建构中，我也一直寻找那个最好的答案。

数字天平，等式的意义玩出来

小学生，尤其低段学生的思维还处于以具体形象思维为主，于是我针对上面的案例，设计了《玩转数字天平》一课，打开孩子解题的多重思维。借助数字天平这一模型，我组织了三组实验活动：

第一个实验，最开始天平两边各挂一块重量板使天平平衡得到“数”可以等于“数”；

第二个实验，3片重量卡片怎么挂会平衡呢？比如，左边挂在“6”上，右边两片怎么挂？如果学生是在纸上思考6=（）+（），那么他有困难时就会很快放弃。

而数学实验就不一样，如果遇到困难，学生可以动手尝试。一开始，同学们也不是马上就明白其中的道理。左边挂在“6”上以后，右边挂的是“4”或“5”，不过她们马上发现天平向右边倾斜了。于是进行调整，最终挂到2和4上，天平平衡，这时候，学生自己就发现了原来6=2+4。

之后再通过操作思考、交流等过程，他们发现了只要右边数字的和是6，就会和左边的“6”保持平衡，可以用“=”连接。在这里，左边的“6”和右边的两卡位置之和的“6”是不同的。等式在这里表示的是平衡，是结果相等，具有对称性，而不是“得到”的传递之意。左边挂一个重量板，右边挂两个重量板使天平平衡得到“数”可以等于“式”。

最后我进一步实验：如果有4卡片怎么放？4片塑料卡挂在不同的位置，到底能组成多少个等式？如3+6=4+5。这个实验我们试了3个年级，孩子们分别组出了有21种、32种、25种等式。挂4块重量板得到“式”可以等于“式”，唤醒学生原有平衡经验，在充分的活动中建立平衡观念，再将等号的对称性、传递性渗透在整节课中。

至此，学生明白了等号的意义：等号不只表示结果，还表示两个之间的平衡关系。通过对直观的数字天平的操作，学生在生动而有趣的课堂中，轻轻松松就理解了等号的代数意义。

1克=12根牙签，带给学生“思维地震”

克的质量单位不像长度单位可以用眼睛观察，它必须要通过触觉来感知，积累经验。在教学过程中，我有意设计看一看、估一估、掂一掂、称一称等体验活动，增加学生对“1克”的感性认识，让学生逐步建立起1克的“生活原型”。但只有单一的“表象”是远远不够的。如何让学生更加深入体验，拉深质量单位的空间观念呢？我精心设计了“找1克”的活动。选择不同材料让孩子体验，从对比研究中发现其效果也截然不同。

材料之一：选择图钉

第一次试教我选择图钉作为体验的材料，当时选择图钉基于两点思考：一是图钉的质地与硬币比较接近，容易被学生找到；二是学生已有一枚1角硬币重1克的表象，他们会把硬币作为一个标准量来衡量，通过迁移学习得出2枚图钉约重1克，从而加深对1克的理解。

“老师！我找到2枚图钉，我认为差不多重1克。”我发现大部分孩子不用费多大力气就找到了。如我所料，学生很快找到了1克重的2枚图钉。我说：“你是怎样找到的？”“老师刚刚用天平称过一枚1角硬币重1克，我把硬币放左手，右手放2枚图钉，然后一起掂一掂，两只手差不多重，所以我认为2枚图钉差不多重1克。”这位孩子回答完毕后还咕噜了一声：“这有什么难的”。

当我提问还有哪些物品约重1克时，学生列举出1-2枚弓字钉、回形针、钉子等。从学生的列举物中我发现这些物品的数量和质地都比较接近一枚1角硬币，这又让我再次陷入沉思：难道1克给学生的感觉仅仅是1个2个什么东西那么重，而且是像硬币一样硬硬的。这样的体验会不会太局限了呢，会不会造成思维定势呢？

材料之二：选择牙签

教材课后有一道习题：1千克的铁和1千克的棉花，谁重？这让我产生了灵感：能不能选择棉花作为探究材料呢？可是转念一想有问题，1克重的棉花在体积上虽然能让学生有所触动，但是很难用具体的量来表示，难以操作。“山穷水尽疑无路，柳岸花明又一村”，最后我想到了质地不同于硬币的牙签。

平时很少发言的黄樯站了起来，他小心翼翼地说：“老师，我找到牙签，我觉得应该有2根！”他的一句话激起大家的兴趣，这时的孩子急忙去找牙签，有的和同桌窃窃私语，有的拿牙签放手里掂一掂。过了一会儿，一个叫张文也的孩子站起来反驳道：“我反对，不可能，我刚刚掂过，牙签很轻的。”我心想机会来了，这会儿让你们好好见识见识1克究竟有多重？我不慌不忙地问：“那你们认为1克重的牙签应该有几根呢？”“可能4根、5根、6根吧！”孩子们各抒己见，其中有一位学生咬咬牙说：“最多不会超过8根！”“到底有多少根呢？我也不清楚？”我故意装傻。有些孩子急得直跺脚：“老师，快用天平称一称吧，我很想知道，求您了。”多么天真的孩子呀！

此时，会场上鸦雀无声，所有的目光都集中到天平上。1根、2根、3根，指针一动也不动，我皱着眉头问：“怎么不动呢？”孩子们异口同声：“再加，继续加！”4根、5根、6根，天平还是毫无动静。“老师，放10根试试吧！”那位说不会超过8根的孩子建议。“好，那就再加4根，一共10根，呀！天平有点动静了。”此时，有些孩子情不自禁地站到凳子上观察，那专注的眼神显得有些紧张。我有意放慢速度：“11根、快了快了，12根，呀！平了平了！”我笑着回答：“是呀，虽然1克很轻很轻，可它却有12根牙签那么重……”

选择牙签作为体验素材，对建构1克质量观念是一次扩充，更是在思维上让学生产生冲突、碰撞。如果没有亲身体验，谁能想象出1克重的牙签竟然有12根呢？学生预想的和体验的结果截然不同，将会产生怎样的体验情绪呢？教学实践证明：正是体验牙签这一素材激起了学生强烈的探究欲望，带给学生“思维地震”：原来1克有12根牙签那么重呀，不可思议。这让学生对1克的体验变得丰富饱满，此时的1克也变得形象化、立体化，已能看得见、摸得着。由此可见，选择合理有效的学习素材，是实施有效体验学习的关键一环。

1克约重“12根牙签”的教学片断让我陷入沉思：教师是数学学习的组织者，作为组织者其成功之处不仅体现在数学活动的过程中，也体现在对学生学习数学时所需材料的精心选择和组织上。教师要为学生的体验学习提供有价值的体验素材，让学生展开自主体验。那么老师在选择学习素材时应该考虑哪些因素呢？

1、增强学习材料的有效性。
　　学习材料不是提供的越多越好，过于丰富的材料往往容易干扰学生的思维，同时给组织教学带来一定的难度，从而影响数学课的实际效果。我们应该选择学生熟悉和趣味的素材，并将生活知识与数学知识联系起来，从生活中寻找并合理利用它的“原型”进行教学，这样可以变抽象为形象，化枯燥为有趣，变被动为主动，变怕学为乐学。

2、凸现学习材料的内蕴性

我们选择的材料应是学生喜欢的，对它充满感情的。小学生，尤其是低年级的学生学习数学的热情和积极性一定程度上取决于他们对学习素材的感受和兴趣。这样的材料，学生会倍感亲切。学习材料是个性思维的依托，它不但调节着学生的学习情绪，同时暗示着学习的方法。当教师提供的学习材料数量有限的时候，学生非常自然地想到合作，这时候的合作发自学生的内心需要，而不是教师刻意安排的教学环节，真正达到让学习材料“说话”的目的。

3、捕捉学习材料的生成性

学习材料毕竟还是辅助学生学习的“拐杖”，只是实现教学目标的辅助手段，但合理高效的学习素材不是静态的“拐杖”，使用恰当会呈现出“生成性”的一面。在课堂教学中，老师及时捕捉学习素材散发出的各种有效的生成资源，为深入体验所用，这需要老师发挥课堂智慧。

有效体验学习是不可或缺的，它可以彰显孩子们靓丽的生命，体验到数学的无穷魅力！但它需要合理高效的学习素材。

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责任编辑：田佩

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